逆矩阵

什么是逆矩阵

定义

设$A$为$n$阶矩阵，若存在$n$阶矩阵$B$，使得
$$
AB = BA = I
$$
则称$A$为可逆矩阵，$B$为$A$的逆矩阵，记为
$$
A^{-1} = B
$$

性质

若$A$可逆，则$A^{-1}$存在，且$A A^{-1} = A^{-1} A = I$. 此时矩阵$A$的逆是唯一的

单位阵$I^{-1} = I$

对角阵
$$
D =
\left(
\begin{matrix}
d_1 & & \
& \ddots & \
& & d_n
\end{matrix}\right)
\quad \Rightarrow \quad
D^{-1} =
\left(
\begin{matrix}
\frac{1}{d_1} & & \
& \ddots & \
& & \frac{1}{d_n}
\end{matrix}\right)
$$
$(kI)^{-1} = \frac1k I,(k\neq0)$

重要性质4条：

  1. $AB可逆，且(AB){-1}=B{-1}A^{-1}$

  2. $A{-1}可逆，且(A{-1})^{-1} = A$

  3. $\lambda A可逆，且(\lambda A)^{-1}=\frac1\lambda A^{-1}$

  4. $AT可逆，且(AT){-1}=(A{-1})^T$