逆矩阵

什么是逆矩阵

定义

设$A$为$n$阶矩阵，若存在$n$阶矩阵$B$，使得
$$AB=BA=I$$
则称$A$为可逆矩阵，$B$为$A$的逆矩阵，记为
$$A^{-1}=B$$

性质

若$A$可逆，则$A^{-1}$存在，且$A{A}^{-1}=A^{-1}A=I$. 此时矩阵$A$的逆是唯一的

单位阵$I^{-1}=I$

对角阵
$$D=\left(\begin{array}{ccccccc}{d}_1& & & \ddots & & & d_n\end{array}\right)\Rightarrow D^{-1}=\left(\begin{array}{ccccccc}\frac{1}{d_1}& & & \ddots & & & \frac{1}{d_n}\end{array}\right)$$
$(kI{)}^{-1}=\frac{1}{k}I,(k\ne 0)$

重要性质4条：

1. $AB可逆，且(AB)^{-1}=B{-1}A^{-1}$

2. $A^{{-1}可逆，且(A}{-1})^{-1} = A$

3. $\lambda A\mathrm{可}\mathrm{逆}，\mathrm{且}(\lambda A{)}^{-1}=\frac{1}{\lambda }{A}^{-1}$

4. $A^{T可逆，且(A}T)^{-1}=(A{-1})^T$