矩阵及其运算

什么是矩阵？

矩阵简单的讲就是一个数表

定义

由$\,m\times n\,$个数排成的$\,m\,$行$\,n\,$列的数表
$$
\left(
\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{matrix}
\right)
$$​ 称为一个$\,m\,$行$\,n\,$列的矩阵，简称为$\,m\times n\,$矩阵，其中$\,a_{ij}\,$表示第$\,i\,$行第$\,j\,$列元素

例如矩阵$\, A= \left(\begin{matrix}1 & 3 \\ -1 & 0 \\ 2 & 1\end{matrix}\right) \,$就可以写作$\, A_{3\times 2} \,$，或者$\,A=(a_{ij})_{3\times 2}\,$；它其中第$\,i\,$行第$\,j\,$列元素则用$\,a_{ij}\,$来表示

特殊矩阵

零矩阵

$$
O_{2\times 2}=\left(
\begin{matrix}
0 & 0\\
0 & 0
\end{matrix}
\right),
O_{2\times 1}=\left(
\begin{matrix}
0 \\
0
\end{matrix}
\right)
$$

​ 零矩阵用字母$\,O\,$表示

方矩阵

$$
A_{nn}=\left(
\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\
\end{matrix}
\right)
$$

​ 行和列相等的矩阵被称为方矩阵

对角矩阵

$$
A=\left(
\begin{matrix}
a_{11}\\
& a_{22}\\
& & \ddots\\
& & & a_{nn}
\end{matrix}
\right)=diag(a_{11},a_{22},\cdots,a_{nn})
$$

​ 对角矩阵是除了主对角线之外的元素皆为0的矩阵，通常只用写出主对角线上的元素即可，常写为$\,diag(a_{11},a_{22},\cdots,a_{nn})$，其中$\,a_{ii}\,$称为对角元；对角矩阵一定是方矩阵，否则没有对角线

单位矩阵

$$
I=\left(
\begin{matrix}
1\\
& 1\\
& & \ddots\\
& & & 1
\end{matrix}
\right)=diag(1,1,\cdots,1)
$$

​ 成为单位矩阵的前提条件是其本身是一个对角矩阵，通常用大写字母$\,I\,$表示单位矩阵

上三角与下三角矩阵

$$
\left(
\begin{matrix}
1 & 3 & 2 & 0 \\
0 & -1 & 1 & 5 \\
0 & 0 & 3 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{matrix}
\right),
\left(
\begin{matrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
3 & -1 & 0 & 0 \\
2 & 1 & 3 & 0 \\
4 & 0 & 2 & 1 \\
\end{matrix}
\right)
$$

​ 从主对角线分界下部分（不含主对角线）元素都为0的方矩阵为上三角矩阵，下三角矩阵同理

矩阵关系

同型矩阵

$$
A_{m\times n},B_{m\times n}
$$

​ 行数和列数对应相等

矩阵相等

$$
A=(a_{ij})\,与\,B=(b_{ij})\,同型，且\,a_{ij} = b_{ij}，𝑖=1,\cdots,𝑚; 𝑗=1,\cdots,𝑛\\记为A=B
$$

​ 啥都相等

矩阵加法

$$
A与B同型，定义A+B=（a_{ij}+b_{ij}）
$$

​ 属于矩阵的线性运算；对应位置相加，且两个矩阵必须是同型矩阵加法才有意义

负矩阵

$$
-A=(-a_{ij}) \\ A+(-A)=O
$$

​ 每个位置都乘上-1，可以推导出矩阵减法

数乘

$$
kA=(ka_{ij})
$$

​ 属于矩阵的线性运算；每个位置都乘以常数k

矩阵乘法

​ 只有前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数时矩阵乘法才有意义
$$
A_{n\times m} \times B_{m\times p} = C_{n\times p}
$$​ 结果矩阵可以看成是消掉了中间的m，各取两边矩阵的n和m

转置

性质：
$$
1.(A^T)T=A \\
2.(A+B)^T=AT+B^T \\
3.(kA)T=kA^T \\
4.(AB)^T=BTA^T \\
(A_1 A_2 \cdots A_k)^T=A_kT A_{k-1}^T \cdots A_1^T
$$

代数分析

定理：
$$
f(A) \cdot g(A) = g(A) \cdot f(A)
$$
例：
$$
(A-2I)(A+2I)=(A+2I)(A-2I)
$$
正常情况下矩阵乘法有先后顺序，不能交换前后顺序，而以一定相同形式相乘时则可以交换