矩阵及其运算

什么是矩阵？

矩阵简单的讲就是一个数表

定义

由$m\times n$个数排成的$m$行$n$列的数表
$$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$$​ 称为一个$m$行$n$列的矩阵，简称为$m\times n$矩阵，其中$a_{ij}$表示第$i$行第$j$列元素

例如矩阵$A=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ -1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)$就可以写作$A_{3\times 2}$，或者$A=(a_{ij}{)}_{3\times 2}$；它其中第$i$行第$j$列元素则用$a_{ij}$来表示

特殊矩阵

零矩阵

$$O_{2\times 2}=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right),O_{2\times 1}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$$

​ 零矩阵用字母$O$表示

方矩阵

$$A_{nn}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)$$

​ 行和列相等的矩阵被称为方矩阵

对角矩阵

$$A=\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ & a_{22}\\ & & \ddots \\ & & & a_{nn}\end{array}\right)=diag(a_{11},a_{22},\cdots ,a_{nn})$$

​ 对角矩阵是除了主对角线之外的元素皆为0的矩阵，通常只用写出主对角线上的元素即可，常写为$diag(a_{11},a_{22},\cdots ,a_{nn})$，其中$a_{ii}$称为对角元；对角矩阵一定是方矩阵，否则没有对角线

单位矩阵

$$I=\left(\begin{array}{c}1\\ & 1\\ & & \ddots \\ & & & 1\end{array}\right)=diag(1,1,\cdots ,1)$$

​ 成为单位矩阵的前提条件是其本身是一个对角矩阵，通常用大写字母$I$表示单位矩阵

上三角与下三角矩阵

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 2& 0\\ 0& -1& 1& 5\\ 0& 0& 3& 2\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 3& -1& 0& 0\\ 2& 1& 3& 0\\ 4& 0& 2& 1\end{array}\right)$$

​ 从主对角线分界下部分（不含主对角线）元素都为0的方矩阵为上三角矩阵，下三角矩阵同理

矩阵关系

同型矩阵

$$A_{m\times n},B_{m\times n}$$

​ 行数和列数对应相等

矩阵相等

$$\begin{gathered} A=(a_{ij})\mathrm{与}B=(b_{ij})\mathrm{同}\mathrm{型}，\mathrm{且}{a}_{ij}=b_{ij}，𝑖=1,\cdots ,𝑚;\hspace{0.33em}𝑗=1,\cdots ,𝑛 \\ \mathrm{记}\mathrm{为}A=B \end{gathered}$$

​ 啥都相等

矩阵加法

$$A\mathrm{与}B\mathrm{同}\mathrm{型}，\mathrm{定}\mathrm{义}A+B=（a_{ij}+b_{ij}）$$

​ 属于矩阵的线性运算；对应位置相加，且两个矩阵必须是同型矩阵加法才有意义

负矩阵

$$\begin{gathered} -A=(-a_{ij}) \\ A+(-A)=O \end{gathered}$$

​ 每个位置都乘上-1，可以推导出矩阵减法

数乘

$$kA=(k{a}_{ij})$$

​ 属于矩阵的线性运算；每个位置都乘以常数k

矩阵乘法

​ 只有前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数时矩阵乘法才有意义
$$A_{n\times m}\times B_{m\times p}=C_{n\times p}$$​ 结果矩阵可以看成是消掉了中间的m，各取两边矩阵的n和m

转置

性质：
$$
1.(A^T)T=A \
2.(A+B)^T=AT+B^T \
3.(kA)T=kA^T \
4.(AB)^T=BTA^T \
(A_1 A_2 \cdots A_k)^T=A_kT A_{k-1}^T \cdots A_1^T
$$

代数分析

定理：
$$f(A)\cdot g(A)=g(A)\cdot f(A)$$
例：
$$(A-2I)(A+2I)=(A+2I)(A-2I)$$
正常情况下矩阵乘法有先后顺序，不能交换前后顺序，而以一定相同形式相乘时则可以交换