向量组的秩和极大线性无关组

定义

  1. $\exists , r个向量线性无关$

  2. $\forall , r+1个向量（不一定有）线性相关$

$此时我们将r个线性无关的向量组成为极大组，r称为向量组的秩$

人话：

向量组里存在一个向量能被剩下的向量表示（线性相关）时，将它们逐个丢出，直到无法找到向量能被线性表示时剩下的向量组即为极大组

如果将能被其他向量表示的向量叫做“多余的”向量，那么上述表达可以这样表示：

将向量组里的多余向量拿出，直到没有多余的向量时剩下的组就是极大组

性质

  1. 矩阵三秩相等：$r(A)=S$

  2. $I:\alpha_1,\cdots,\alpha_n; \quad II:\beta_1,\cdots,\beta_m，当I组可由II组线性表示，则I秩\leq II秩$

  3. 等价的向量组秩相等

向量组等价：

$有I:\alpha_1,\cdots,\alpha_n; \quad II:\beta_1,\cdots,\beta_m，$$当I里的每一个元素都可以被II里的所有向量线性表出时，称I组可由II组线性表示；$$当I组可由II组线性表示 且 II组可由I组线性表示 同时成立，则称I，II等价.$