高斯消元法与矩阵的初等变换

行（简化）阶梯形矩阵

从方程组到矩阵

定义方程组$\,AX=b\,$:
$$
A=\left(
\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{matrix}
\right),
X=\left(\begin{matrix}
x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n}
\end{matrix}\right),
b=\left(\begin{matrix}
b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n}
\end{matrix}\right)\\
A被称为系数矩阵，则b就叫增广矩阵，系数矩阵和增广矩阵一一对应
$$
即
$$
\begin{cases}
a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} = b_{1}\\
a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} = b_{2}\\
\cdots\\
a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \cdots + a_{mn}x_{n} = b_{n}
\end{cases}
$$
此时易得：
$$
当b = 0时，AX=0为齐次方程组\\反之，当b \neq 0时（至少有一个分量不为零），AX=b为非齐次方程组
$$
那么借助矩阵，我们来试讨论方程组何时有解

方程组行阶梯形矩阵

image-20220915190652175

通过一定变换得到的方程矩阵从其中一行最左的0头顶开始到第一位有效数字前结束划线，向下延伸并且继续类似规律，可以画出一个阶梯形

通常划线有以下规则：

  1. 必须从某一行最左侧有0处开始

  2. 每次向下延伸有且只能延伸一行，不能跨两行

  3. 划线下面只能有0，不能有其他数字

    image-20220915191847211

初等变换

上面提到化成阶梯形矩阵需要一定变换，如上文所述，方程组经过同解变换到每个等式有最少确定变量时，就能确定方程组解的数量，这种变换反应在矩阵上就叫初等变换

初等变换三条：

  1. 交换两行（列）的位置

  2. 用一非零实数乘某一行（列）的所有元

  3. 把矩阵的某一行的适当倍数加到另一行（列）上去

人话：

  1. 把消去元最多（0最多）的行往下拿

  2. 任意行乘以倍数

  3. 任意行乘以倍数之后再拿去跟另一行消元

以上三条变换就是初等变换，有了初等变换后就可以将增广矩阵经过行初等变换化为行阶梯形

从行阶梯形矩阵回到方程组

从变换后的结果不难看出来，对于非齐次方程组($AX=b$)，当：

行阶梯形中非零行的行数<未知量个数时原方程组有无穷多解

行阶梯形中非零行的行数=未知量个数时原方程组有唯一解

行阶梯形中系数元素都为0而常数项不为0时原方程组无解

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对于齐次方程组($AX=0$)，则有：

行阶梯形中非零行的行数<未知量的个数时原方程组有非零解（无穷多解）

行阶梯形中非零行的行数=未知量的个数时原方程组有且只有零解（唯一解）

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矩阵等价

当$\,A \stackrel{初等变换}{\longrightarrow} B \,$时，我们说此时$A与B等价$，记为$\, A \cong B \, $.

矩阵等价具有如下性质：

  1. 反身性 $\quad A \cong A$

  2. 对称性 $\quad A \cong B \Rightarrow B \cong A$

  3. 传递性 $\quad A \cong B且B \cong C \Rightarrow A \cong C $

初等矩阵

定义

对单位矩阵做一次初等变换所得矩阵

定理

对矩阵A做一次行（列）初等变换，相当于在A的左（右）边乘上相应的初等矩阵

口诀：左乘行变，右乘列变

人话：看单位矩阵$I$的做了怎样的初等变换，然后按照$I$与矩阵$X$相乘时$I$在$X$左侧还是在右侧来根据口诀进行变换