通解和基础解系

归一性排他性

每行的第每个数都要化为1

被选中的1所在的列，其他元素都要是0

由归一性排他性化简可以很快得出自由未知量（$x_1,x_2$）和受约束未知量（$x_3,x_4$）

通解

由上面的转换之后很快能够得出方程的通解

$$
\left(
\begin{matrix}
-7\
4\
1\
0
\end{matrix}
\right)
,
\left(
\begin{matrix}
3\
-2\
0\
1
\end{matrix}
\right)\
\xi_1 \qquad \xi_2
$$
转换之后形成两个常向量$\xi_1,\xi_2$其特点如下：

$\xi_1,\xi_2为AX=0的解$
$\xi_1,\xi_2线性无关$
$常向量\xi的个数=4-约束未知量个数$

如何快速记住怎么列通解式：

keywords: 无关变量个数约束个数变号抄下来

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基础解系

定义

$$
A_{m\times n},r(A)=r,对AX=0,
$$

如果：

$\xi_1,\cdots,\xi_s,为AX=0的解$
$\xi_1,\cdots,\xi_s线性无关$
$S=n-r$

此时称$\boldsymbol{\xi_1,\cdots,\xi_s}$为$\mathbf{AX=0}$的基础解系

就是上述例子中提到的常向量$\xi$

此时通解就可以表示为：
$$
x=k_1\xi_1+\cdots+k_s\xi_s
$$

非齐次线性方程组的通解

看完了上面齐次方程的通解和基础解系之后，我们来看一下非齐次式的通解
$$
对于AX=b;有增广矩阵\overline A=(A\vdots B)
$$

第一步还是归一性排他性

简单的例子

注意以上变换是对增广矩阵$\overline A$进行处理

移项得

这时通解就可以得出：
$$
通解\quad
x=\left(
\begin{matrix}
2x_3+4\
-x_3+2x_4+3\
x_3\
x_4
\end{matrix}
\right)

x_3\left(
\begin{matrix}
2\
-1\
1\
0
\end{matrix}
\right)
+
x_4\left(
\begin{matrix}
0\
2\
0\
1
\end{matrix}
\right)
+
\left(
\begin{matrix}
4\
3\
0\
0
\end{matrix}
\right)
$$

$$
即\quad x=
k_1\left(
\begin{matrix}
2\
-1\
1\
0
\end{matrix}
\right)
+
k_2\left(
\begin{matrix}
0\
2\
0\
1
\end{matrix}
\right)
+
\left(
\begin{matrix}
4\
3\
0\
0
\end{matrix}
\right)
$$

根据上式能够看出，非齐次的通解相当于齐次的通解+常数特解